5 ல் முடியும் எந்த ஓர் எண்ணுக்கான வர்க்கத்தை காணுதல் (Squaring any number ending with 5)
ஓர் எண்ணை அதே எண்ணால் பெருக்கும் போது கிடைக்கும் எண் அந்த எண்ணின் வர்க்கம் எனப்படும். x*x என்பது xன் வர்க்கம் எனப்படும். இதை x2 என எழுதலாம்.
இங்கு 1,2,3,4,5..........என்ற எங்களின் வர்க்கங்கள் முறையே 1,4,9,16,25.....ஆகும். இத்தகைய வர்க்க எண்களை முழு வர்க்கங்கள் (Perfect Square) என்கிறோம்.
12=1x1=122=2x2=4
32=3x3=9
42=4x4=16
52=5x5=25
முதலில் 5ல் முடிவடையும் எண்களின் வர்க்கத்தை "முன்னதை விட ஒன்று கூடுதலாக" (By one more than the previous one) என்கிற சூத்திரத்தை பயன்படுத்தி எவ்வாறு காண்பது என்று பார்ப்போம்.
உதாரணம் 1: (35)2
(35)2 = [3 x (3+1)] | 52
= [3 x 4] | 5x5
= 12 | 25
= 1225
வழிமுறை :
படி 1 : கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் கடைசி இலக்கத்தை விட்டுவிட்டு கிடைக்கும் எண்ணுடன்1ஐ கூட்டி அந்த எண்ணால் பெருக்கவும் கிடைப்பது முதல் பாதி விடை. (எண் 35ல் கடைசி இலக்கம் 5 ஆகும். இந்த 5 க்கு முந்தைய எண் 3 ஆகும். 'முன்னதை விட ஒன்று கூடுதலாக' , எனவே 3+1=4. ஆக, 3 X 4 = 12
படி 2 :நீக்கப்பட்ட 5ன் வர்க்கத்தை கானவும், கிடைப்பது இரண்டாவது பாதி விடை.
உதாரணம் 2: (105)2
= [10 x 11] | 5x5
= 110 | 25
= 11025
வழிமுறை :
படி 1 : கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் கடைசி இலக்கத்தை விட்டுவிட்டு கிடைக்கும் எண்ணுடன்1ஐ கூட்டி அந்த எண்ணால் பெருக்கவும் கிடைப்பது முதல் பாதி விடை. (எண் 105ல் கடைசி இலக்கம் 5 ஆகும். இந்த 5 க்கு முந்தைய எண் 10 ஆகும். 'முன்னதை விட ஒன்று கூடுதலாக' , எனவே
10+1=11. ஆக, 10 x 11 = 110)படி 2 :நீக்கப்பட்ட 5ன் வர்க்கத்தை கானவும், கிடைப்பது இரண்டாவது பாதி விடை.
உதாரணம் 3: (995)2
= [99 x 100] | 5x5
= 9900 | 25
= 990025
வழிமுறை :
படி 1 : கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் கடைசி இலக்கத்தை விட்டுவிட்டு கிடைக்கும் எண்ணுடன்1ஐ கூட்டி அந்த எண்ணால் பெருக்கவும் கிடைப்பது முதல் பாதி விடை. (எண் 995ல் கடைசி இலக்கம் 5 ஆகும். இந்த 5 க்கு முந்தைய எண் 99 ஆகும். 'முன்னதை விட ஒன்று கூடுதலாக' , எனவே
99+1=100. ஆக, 99 x 100 =9900)படி 2 :நீக்கப்பட்ட 5ன் வர்க்கத்தை கானவும், கிடைப்பது இரண்டாவது பாதி விடை.
உதாரணம் 4: (1.75)2
(175)2 = [17 x (17+1)] | 52
= [17 x 18] | 5x5
= 306 | 25
= 30625
(1.75)2 = 3.0625 (நான்கு ஸ்தானத்திற்கு அடுத்து புள்ளி வைக்கவும்)
வழிமுறை :
படி 1 : கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் கடைசி இலக்கத்தை விட்டுவிட்டு கிடைக்கும் எண்ணுடன்1ஐ கூட்டி அந்த எண்ணால் பெருக்கவும் கிடைப்பது முதல் பாதி விடை. (எண் 175ல் கடைசி இலக்கம் 5 ஆகும். இந்த 5 க்கு முந்தைய எண் 17 ஆகும். 'முன்னதை விட ஒன்று கூடுதலாக' , எனவே
17+1=18. ஆக, 17 x 18 =306)படி 2 :நீக்கப்பட்ட 5ன் வர்க்கத்தை கானவும், கிடைப்பது இரண்டாவது பாதி விடை.
உதாரணம் 5: 67 x 65
67 x 65 = (65+2) x 65
= (65 x 65) + (2 x 65)
= (6(6+1) | 52) + 130
= (42 | 25) + 130
= (4225) + 130
= 4355
வழிமுறை :
படி 1 : கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் கடைசி இலக்கத்தை விட்டுவிட்டு கிடைக்கும் எண்ணுடன்1ஐ கூட்டி அந்த எண்ணால் பெருக்கவும் கிடைப்பது முதல் பாதி விடை. (எண்
65ல் கடைசி இலக்கம் 5 ஆகும். இந்த 5 க்கு முந்தைய எண் 6 ஆகும். 'முன்னதை விட ஒன்று கூடுதலாக' , எனவே
6+1=7. ஆக, 6
x 7 =42)
படி 2 :நீக்கப்பட்ட 5ன் வர்க்கத்தை கானவும், கிடைப்பது இரண்டாவது பாதி விடை.
Algebraic Proof :
Consider (ax + b)2 Ξ a2. x2+ 2abx + b2
This identity for x = 10 and b = 5 becomes,
(10a + 5)2 = a2 . 102 + 2. 10a . 5 + 52
= a2 . 102+ a.102+ 52
= (a2+ a ) . 102 +52
= a (a + 1) . 102 + 25,
Clearly 10a + 5 represents two-digit numbers 15, 25, 35,45.....,95
காணொளி உதாரணம் :
